Résolution d’exercices de statistiques

# Chapitre 4 Résolution d’exercices de statistiques

## 4.1 Statistiques à 1 variable

- Exercice 1
  Voici les notes obtenues dans une classe de terminale.
  6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,11,8,7,10
  Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.
  On tape :
  `mean([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,
  18,10,9,11,8,7,10])`
  On obtient :
  `[10.15]`
  On tape :
  `stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,
  18,10,9,11,8,7,10])`
  On obtient :
  `sqrt(4451/400)` `≃``[3.33579076082]`
  On tape :
  `quartiles([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,
  18,10,9,11,8,7,10])`
  On obtient :
  `[[4.0],[8.0],[10.0],[11.0],[18.0]]`
  Donc la plus mauvaise note est 4 et la meilleure note est 18.
  La médiane est 10, de plus 25% des élèves ont une note inférieure à 8, et 25% des élèves ont une note supérieure à 11 ou encore 50% des élèves ont une note entre 8 et 11.
- Exercice 2
  Sur un échantillon de 100 personnes, on relève leur taille.
  y désigne la taille en centimètres et n l’effectif, on obtient le tableau :

  `y` | `150<y` `≤``155` | `155<y` `≤``160` | `160<y` `≤``165` | `165<y` `≤``170`
  `n` | `30` | `25` | `23` | `22`

  Construire l’histogramme.
  Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.
  Avec `Xcas`, on utilise un tableur que l’on obtient avec le raccourci clavier `Alt+t`.
  On remplit la colonne `A` :
  on met `150..155` dans `A0`, `155..160` dans `A1` etc...ou on tape dans `A1``=A0+5` puis on remplit vers le bas avec le menu du tableur `Edit` puis `Remplir` puis `Copier vers le bas`.
  On remplit la colonne `B` :
  on met `30` dans `B0`, `25` dans `B1` etc...
  On sélectionne ces 2 colonnes pour cela, soit on le fait à la souris soit on tape dans la `case de sélection` `A0..B3`.
  Avec le menu du tableur `Statistiques` puis `1d` puis `histogram`, on obtient l’histogramme.
  On tape dans `A4` :
  `=mean(A0:A3,B0:B3)`
  On obtient la moyenne : `3187/20`
  On tape dans `B4` :
  `=stddev(A0:A3,B0:B3)`
  On obtient l’écart-type : `sqrt(12731/400)` `≃``5.64158665625`
  On obtient le résultat dans la ligne de commande en appuyant sur `eval` et la valeur approchée avec la commande `evalf`.
- Exercice 3
  Sur un échantillon de 100 personnes, on relève leur poids.
  x désigne le poids en kilogrammes et n l’effectif, on obtient le tableau :

  `x` | `40<x` `≤``45` | `45<x` `≤``50` | `50<x` `≤``55` | `55<x` `≤``60`
  `n` | `22` | `33` | `24` | `21`

  Construire l’histogramme.
  Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette série.

  Avec `Xcas`, on utilise un tableur que l’on obtient avec le raccourci clavier `Alt+t`.
  On remplit la colonne `C` :
  on met `40..45` dans `C0`, `45..50` dans `C1` etc...
  On remplit la colonne `D` :
  on met `22` dans `D0`, `33` dans `D1` etc...
  On sélectionne ces 2 colonnes, on peut faire cette sélection à la souris ou en tapant dans la `case de sélection` `C0..D3`.
  Avec le menu du tableur `Statistiques` puis `1d` puis `histogram`, on obtient l’histogramme.
  On tape dans `C4` :
  `=mean(C0:C3,D0:D3)`
  On obtient la moyenne : `497/10`
  On tape dans `D4` :
  `=stddev(C0:C3,D0:D3)`
  On obtient l’écart-type : `sqrt(1383/50)` `≃``5.25927751692`
  On obtient le résultat dans la ligne de commande en appuyant sur `val` et la valeur approchée avec la commande `evalf` .

## 4.2 Intervalle de confiance

Un exercice pour bien comprendre qu’un intervalle de confiance dépend de l’échantillon.
Une usine fabrique des pièces de diamètre µ. On suppose que la variable aléatoire X qui, à chaque pièce associe son diamètre suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ=1.1.
On cherche à estimer µ à partir d’un échantillon d’effectif n=40.
On regroupe les résultats en classes, on a obtenu :
2 pièces ont un diamètre entre 32.5 et 33.5,
7 pièces ont un diamètre entre 33.5 et 34.5,
19 pièces ont un diamètre entre 34.5 et 35.5,
8 pièces ont un diamètre entre 35.5 et 36.5,
3 pièces ont un diamètre entre 36.5 et 37.5,
1 pièce a un diamètre entre 37.5 et 38.5,
1/ Déterminer la moyenne, l’écart-type et l’histogramme de cet echantillon.
Réponse :
On tape dans la colonne `A` :
33,34,35,36,37,38 (ou 32.5..33.5 etc...mais c’est plus long!!!) et
dans la colonne `B` :
2,7,18,8,3,2.
puis en `A9` on tape `=mean(A0:A5,B0:B5)`,
on trouve `1409/40 =35.225` et
en `B9` on tape `=stddev(A0:A5,B0:B5)`,
on trouve `sqrt(2039/1600``≃``1.12888219049`.
Pour réaliser l’histogramme on sélectionne les colonnes `A` et `B`, on peut faire la sélection à la souris ou on tape dans la `case de sélection` `A0,5,B`.
Avec le menu `Statistiques` du tableur, on choisit `1d` puis `histogram` et on obtient l’histogramme.
2/ Déterminer à partir de l’échantillon : - un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne µ, et
- un intervalle de confiance à 99% pour la moyenne µ.
Réponse :
On connait σ et on sait que la variable `X` égale à la moyenne des échantillons de taille n suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ/√n.
On a σ/√n=1.1/√40=0.173925271309.
On sait que l’on a :
Prob(|X−µ|<k*σ/√n)=0.95 pour k=1.96 et,
Prob(|X−µ|<k*σ/√n)=0.99 pour k=2.576
donc on a:
X−1.96*σ/√n<µ<X+1.96*σ/√n dans 95% des cas et,
X−2.576*σ/√n<µ<X+2.576*σ/√n dans 99% des cas.
Au vu de l’échantillon on a X=35.225:
a1=35.225−1.96*1.1/√40=34.8841064682
b1=35.225+1.96*1.1/√40=35.5658935318
a2=35.225−2.576*1.1/√40=34.7769685011
b2=35.225−2.576*1.1/√40= 35.6730314989
Avec `Xcas` on tape et on obtient :
`a1:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.025)`
`=34.8841127322`
`b1:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.975)`
`=35.5658872678`
`a2:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.005)`
`=34.7769981895`
`b2:=normal_icdf(1409/40,1.1/sqrt(40),0.995)`
`=35.6730018105`
on en déduit que :
`[34.88;35.57]` est un intervalle de confiance à 95% pour µ et que
`[34.77;35.68]` est un intervalle de confiance à 99% pour µ.
3/ On suppose encore que σ=1.1 et qu’un échantillon de taille n=100 a une moyenne de 35.225.
Déterminer à partir de cet échantillon, un intervalle de confiance à 95% pour la moyenne µ.
Réponse :
On a:
Proba(X−1.96*σ/√n<µ<X+1.96*σ/√n)=0.95.
Au vu de cet échantillon la valeur de X est de 35.225 on a :
35.225−1.96*1.1/√100=35.0094
35.225+1.96*1.1/√100=35.4406
Ou avec `Xcas` on tape :
`normal_icdf(35.225,1.1/sqrt(100),0.025)`
On obtient : `35.0094039617`
`normal_icdf(35.225,1.1/sqrt(100),0.975)`
On obtient : `35.4405960383`
On en déduit que :
`[35 ; 35.45]` est un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5%.
Donc quand on augmente la taille de l’échantillon on a un intervalle de confiance de plus faible amplitude, en effet, on a une information plus précise avec un échantillon de taille plus grande.
4/ On suppose que X suit la loi normale N(35.25,1.1).
Simuler la prise de 5 échantillons de taille 100 et déterminer pour chacun des échantillons un intervalle de confiance pour la moyenne µ au seuil de 5%, dans les deux cas suivant :
a/ lorsqu’on suppose que l’on connait σ=1.1
b/ lorsqu’on estime σ à l’aide de l’échantillon.
Réponse :
On demande d’avoir 102 lignes dans le tableur en tapant `A102` dans la case de sélection.
On tape en `A0` : `=randnorm(35.25,1.1)`
puis on sélectionne `A0` et on appuie sur `remplir` et `vers le bas`.
On tape en `A100` : `=mean(A0:A99)`
On tape en `A101` : `=stddev(A0:A99)`
On tape en `A102` : `=A101*10/sqrt(99)`
puis on recopie toutes ces formules sur les colonnes `B,C,D,E` si on veut voir les 5 échantillons et on se met en mode `manual`,on sélectionne pour cela `Ne pas recalculer automatiquement` dans le sous-menu `Configuration` du menu `Edit` du tableur. En effet en mode `auto` chaque fois que l’on valide une cellule contenant `=randnorm(35.25,1.1)`, on a un nouvel échantillon grâce au recalcul automatique.
On obtient par exemple :
La ligne 100 est la liste `m` des valeurs des moyennes des 5 échantillons :
`[35.2341469676,35.3942572081,35.0898127739,`
`35.1447916945,35.2456441276]`,
La ligne 101 est la liste `s` des valeurs des écarts-types des 5 échantillons :
`[1.00342913254,1.14149481601,1.19977064554,`
`1.00252282025,1.09862748198]`,
ligne 102 est la liste σ_est des valeurs estimées de l’écart-type σ :
`[1.00848422314,1.14724545601,1.20581486841,`
`1.00757334501,1.10416216427]`
On rajoute 2 lignes au tableur (dans la `case de sélection` on tape A104) Dans la cellule `A103` on tape puisque 1.1/√100=0.11 :
`normal_icdf(A100,0.11,0.025)..normal_icdf(A100,0.11,0.975)` On recopie cette formule sur la ligne 103.
On obtient sur la ligne 103 :
`[35.0185509293..35.4497430059,35.1786611698..35.6098532464,`
`34.8742167356..35.3054088122,34.9291956562..35.3603877328,`
`35.0300480893..35.4612401659]`
d’où lorsqu’on connait σ=1.1, les intervalles de confiance pour µ, au seuil de 5%, sont pour les 5 échantillons :
`[35.0185509293 ; 35.4497430059]`
`[35.1786611698 ; 35.6098532464]`
`[34.8742167356 ; 35.3054088122]`
`[34.9291956562 ; 35.3603877328]`
`[35.0300480893 ; 35.4612401659]`
Dans la cellule `A104`, on tape, puisque l’on estime σ/√100 par s/√99 :
`normal_icdf(A100,A101/sqrt(99),0.025)..`
`normal_icdf(A100,A101/sqrt(99),0.975)`
On recopie cette formule sur la ligne 104.
On obtient sur la ligne 104 :
`[35.0364840599..35.4318098753,35.1693970987..35.6191173175,`
`34.8534730597..35.3261524881,34.9473073189..35.3422760701,`
`35.0292283434..35.4620599118]`
d’où lorsqu’on estime σ, les intervalles de confiance pour µ, au seuil de 5%, sont pour les 5 échantillons :
`[35.0364840599 ; 35.4318098753]`
`[35.1693970987 ; 35.6191173175]`
`[34.8534730597 ; 35.3261524881]`
`[34.9473073189 ; 35.3422760701]`
`[35.0292283434 ; 35.4620599118]`
Si on reunit ses 5 échantillons on a :
n=500
m=(m[0]+m[1]+m[2]+m[3]+m[4])/5=176.108652772/5=35.2217305544
s2=(s[0]2+s[1]2+s[2]2+s[3]2+s[4]2)/5=1.19227287804 donc
σ_est=s√500/499=√1.19227287804*500/499=1.09300603953
d’où pour cet échantillon, un intervalle de confiance pour µ, au seuil de 5%, est : `[35.1259243509 ; 35.3175367579]`
car
35.2217305544-1.96*1.09300603953/sqrt(500)=35.1259243509 et
35.2217305544+1.96*1.09300603953/sqrt(500)=35.3175367579
5/ On suppose que X suit la loi normale N(35.25,1.1).
Simuler la prise de 5 échantillons de taille 40 et déterminer pour chacun des échantillons un intervalle de confiance pour la moyenne µ, au seuil de 5%, dans les deux cas suivant :
a/ lorsqu’on suppose que l’on connait σ=1.1
b/ lorsqu’on estime σ à l’aide de l’écart type de l’échantillon.
Réponse :
On considére un échantillon de taille n=40.
Il a pour moyenne m=35.531073986 et pour écart type s=1.00296897139
Pour les quatres autres échantillons de taille 40 on trouve par exemple :
m=35.6360091101 et s=1.29301963917
m=35.0684414822 et s=0.951157103863
m=35.4535840905 et s=0.917989271482
m=35.0910551678 et s=1.05109677585
a/ X suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type :
σ/√40=1.1/√40=0.173925271309.
On a:
X−1.96*σ/√n<µ<X+1.96*σ/√n dans 95% des cas.
On a, pour le premier échantillon :
m−1.96*1.1/√40=35.1901804542 et,
m+1.96*1.1/√40=35.8719675178,
d’où un intervalle de confiance de `[35.19;35.88]` pour µ, au seuil de 5%.
b/ On suppose que l’on ne connait pas σ. Ici, n est trop petit pour évaluer σ à l’aide de l’écart type s de l’échantillon.
On considère alors, `T=√``n−1` `X``-µ/S` avec :
`S``2``=``1/n``∑``j=1``n``(X``j``-``X``)``2`
`X``j` est la variable aléatoire qui au `j``ième` tirage associe son résultat et
X=1/n∑j=1n Xj.
Alors `T` suit une loi de Student à (n−1) degrés de liberté.
Ici n=40 et on lit sur la table de Student que lorsque il y a ν=39 degrés de liberté, Proba(−t<T<t)=0.95 pour t=2.023.
Ou bien avec `Xcas` on tape :
`student_icdf(39,0.025)`
On obtient :
`-2.02269092002`
`student_icdf(39,0.975)`
On obtient :
`2.02269092002`
Donc X−t*S/√39<µ<X+t*S/√39.
Pour le premier échantillon on trouve : m=35.531073986
s=1.00296897139
m−2.023*s/√39=35.2061729645
m+2.023*s/√39=35.8559750075
d’où un intervalle de confiance de `[35.2;35.86]` pour µ au seuil de 5%.
Pour les 4 autres échantillons, on trouve :
`[35.2171492913;36.0548689289]`
`[34.7603243584;35.376558606]`
`[35.1562113297;35.7509568513]`
`[34.7505636611;35.4315466745]`
En estimant σ par s √40/39 on aurait obtenu pour le premier échantillon :
`[35.2162967736;35.8458511984]`
En effet avec `Xcas` on tape :
`normal_icdf(35.531073986,1.00296897139/sqrt(39),0.025)`
On obtient :
`35.2162967736`
On tape :
`normal_icdf(35.531073986,1.00296897139/sqrt(39),0.975)`
On obtient :
`35.8458511984`

## 4.3 Intervalle de confiance d’une fréquence

- Exercice 1
  Sur un registre d’état civil, on a relevé 552 naissances dont 289 garçons.
  a/ Estimer la fréquence `p` de naissance d’un garçon.
  b/ Donner un intervalle de confiance pour cette estimation.
  Réponse
  a/ on a f=289/552≃ 0.523, on estime donc `p` à 0.523
  b/ Soit pest un nombre entre 0 et 1 et on fait l’hypothése bilatérale :
  H0: p=pest (H1: p ≠ pest).
  Peut-on accepter ou rejeter l’hypothèse p=pest au seuil α=0.05 ?
  Soit X la variable aléatoire égale à 1 pour la naissance d’un garçon et égale à 0 pour la naissance d’une fille. Soient X1...X552 les variables X correspondant aux 552 naissances et soit Y la variable aléatoire égale à ∑Xi/n = moyenne du nombre de garçons obtenus pour un échantillon d’effectif 552.
  La distribution Y est voisine d’une distribution normale de moyenne pest et d’écart type σ=√pest(1−pest)/552.
  On a donc Proba(|Y−pest|<1.96σ)=0.95.
  La valeur de Y lors de l’expérimentation est 289/552.
  Soit A l’évènement |Y−pest|≥ 1.96σ.
  On rejette l’hypothèse bilatérale p=pest si Proba(A) ≤ 0.05 et on l’accepte sinon.
  Pour quelles valeurs de pest a-t-on P(A) ≤ α=0.05 ?
  On a :
  Proba(|Y−pest|=|289/552−pest|≤ 1.96√pest*(1−pest)/552)=0.95
  Résolvons l’inéquation où l’inconnue est pest :
  (289/552−pest)2−1.962*pest*(1−pest)/552<0
  ce qui veut dire que pest est à l’intérieur des racines de l’équation en x :
  (289−552x)2−1.962*552x*(1−x)=0.
  On tape :
  `solve((289-552*x)```^```2-1.96```^```2*552*x*(1-x)=0)`
  On obtient :
  `[0.481866594885,0.564909321131]`
  Ou on tape :
  `solve((289-552*x)```^```2-1.96```^```2*552*x*(1-x)<0)`
  On obtient :
  `[(x>0.481866594885) && (x<0.564909321131)]`
  Conclusion : on a p ∈ [0.481 ; 0.565] avec une probabilité de 0.95.
  Remarque : on peut faire un calcul plus rapide car on peut estimer σ par : √f*(1−f)/551=√289*(552−289)/5522/551≃0.0212770747076.
  Donc k=1.96*0.0213 <0.042 ce qui donne comme intervalle de confiance de p au seuil de 5% égal à :
  [0.523−0.042=0.481 ; 0.523+0.042=0.565]
  Avec `Xcas`, on tape :
  `normal_icdf(289/552,0.0212770747076,0.025)`
  On obtient :
  `0.481848424514`
  `normal_icdf(289/552,0.0212770747076,0.975)`
  On obtient :
  `0.565253024761`
  ce qui donne [0.4818 ; 0.5653] comme intervalle de confiance de p au seuil de 5%.
- Exercice 2
  Dans un hôpital sur un échantillon de 458 malades admis pendant un trimestre il y a eu 141 décès. Estimer le pourcentage de décès par un intervalle de confiance au seuil de 0.01.
  Réponse
  On a :
  n=458,
  f=141/458 ≃ 0.307860262009,
  σ ≃ √f(1−f)/457=0.0215931304967
  `normal_icdf(0,1,0.995)=2.57582930355` `≃``2,58`
  On obtient, si Y est la variable aléatoire moyenne du nombre de décès pour des échantillons de taille 458 :
  P(|Y−p|≥ k)=0.01 pour k=0.258*σ ≃ 0.056 donc un intervalle de confiance du pourcentage de décès, au seuil de 0.01 égal à : [0.252; 0.364]
  Avec `Xcas`, on tape :
  `normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.005)`
  On obtient :
  `0.25224004372`
  `normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.995)`
  On obtient :
  `0.363480480297`
  ce qui donne [0.252 ; 0.364], comme intervalle de confiance de p au seuil de 5%.

## 4.4 Statistiques à 2 variables

- Exercice 1
  Sur un échantillon de 100 personnes, on relève leur poids et leur taille.
  x désigne le poids en kilogrammes et y désigne la taille en centimètres on obtient le tableau :

  `"y x"` | `40<x ≤ 45` | `45<x ≤ 50` | `50<x ≤ 55` | `55<x ≤ 60`
  `150<y ≤ 155` | `20` | `9` | `1` | `0`
  `155<y ≤ 160` | `2` | `18` | `4` | `1`
  `160<y ≤ 165` | `0` | `5` | `12` | `6`
  `165<y ≤ 170` | `0` | `1` | `7` | `14`

  Représenter graphiquement le nuage de points.
  Calculer le coefficient de corrélation.
  Réponse
  On remplit le tableur (colonnes `A,B,C,D,E`) avec le tableau ci-dessus en remplacant chaque classe par son centre, pou cela, on se place sur `A0` et on met :
  `[["y x",42.5,47.5,52.5,57.5],[152.5,20,9,1,0],`
  `[157.5,2,18,4,1],[162.5,0,5,12,6],[167.5,0,1,7,14]]`
  dans la ligne de commande, et sur une seule ligne, puis on valide (ne pas mettre `=` pour remplir plusieurs cellules).
  On tape alors dans `F0` :
  `=covariance(list2mat(A0:E4,5),-1)`
  ou on tape dans une ligne d’entrée :
  `covariance([["y\x",42.5,47.5,52.5,57.5],`
  `[152.5,20,9,1,0],[157.5,2,18,4,1],[162.5,0,5,12,6],`
  `[167.5,0,1,7,14]],-1)`
  On obtient dans `F0` ou en réponse :
  `24.18`
  On tape dans `F1` :
  `correlation(list2mat(A0:E4,5),-1)`
  ou on tape dans une ligne d’entrée :
  `correlation([["y x",42.5,47.5,52.5,57.5],[152.5,20,9,1,0],`
  `[157.5,2,18,4,1],[162.5,0,5,12,6],[167.5,0,1,7,14]],-1)`
  On obtient dans `F1` ou en réponse :
  `0.814946211639`
- Exercice 2
  Lors d’une épidémie on a relevé, à intervalles réguliers, le nombre de cas déclarés :

  `numéro du relevé :` `x``j` | `1` | `2` | `3` | `4`
  `nombre de cas :` `y``j` | `94` | `221` | `446` | `1050`

  1/ Représenter les points (xj,yj) dans un repère convenable.
  Un ajustement affine parait-il justifié ?
  2/ On pose zj=ln(yj) où ln désigne le logarithme népérien.
  Détérminer des valeurs décimales approchées à 0.01 près de z1, z2, z3, z4.
  Représenter les points (x−j,zj) dans un repère convenable.
  3/ Détérminer l’équation de la droite de régression pour la série statistique (xj,zj).
  4/ Tracer cette droite sur le graphique de la question 2/.
  Utiliser cet ajustement affine pour obtenir une formiule donnant approximativement yj en fonction de xj.
  En déduire le nombre de cas prévisibles au 5-ième relevé.
  Réponse
  Avec `Xcas` on tape :
  `evalf(log([94,221,446,1050]))`
  On obtient :
  `[4.54329478227,5.39816270152,6.10031895202,
  6.95654544315]`
  et si on demande un calcul avec 3 chiffres significatifs (bouton rouge `cas` et on met `Chiffres` à 3 puis `OK`) on obtient :
  `[4.54,5.4,6.1,6.96]`
  On tape :
  `linear_regression([1,2,3,4],[4.54,5.4,6.1,6.96])`
  On obtient :
  `0.794190823313,3.76410341145`
  donc z=0.794 x+3.76
  On tape :
  `exponential_regression([1,2,3,4],[94.0,221,446,1050])`
  On obtient :
  `2.21264984755,43.1250231194`
  donc y=43.1*2.21x
  Vérifions :
  y=exp(z)=exp(0.794*x+3.76)=42.9*2.21x)
  Pour x=5 on a z(5)=0.794*5+3.76=7.73 donc
  y(5)=exp(z(5))=exp(7.73)≃ 2275
  ou encore y(5)=43.1*2.215≃ 2272

## 4.5 Comparaison de deux échantillons

### 4.5.1 Test de comparaison de deux moyennes

- Exercice 1
  Pour une même épreuve, voici les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée A.
  6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,11,8,7,10.
  et les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée B.
  2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,9,11,8,9,10
  1/ Analyser les résultats de chaque groupe.
  2/ Peut-on considérer que les 2 groupes sont issus d’une même population ?
  Réponse

  1/ On tape :

  `mean([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])`

  On obtient :

  `[10.15]`

  On tape :

  `stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])`

  On obtient :

  `sqrt(4451/400)` `≃``[3.33579076082]`

  Le lycée A a une moyenne de 10.15 et un écart type d’environ 3.34.
  On tape :

  `mean([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])`

  On obtient :

  `9.95`

  On tape :

  `stddev([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])`

  On obtient :

  `sqrt(6179/400)` `≃``3.93033077488`

  Le lycée B a une moyenne de 9.95 et un écart type d’environ 3.93.
  On tape pour le lycée A :

  `quartiles([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])`

  On obtient :

  `[[4.0],[8.0],[10.0],[11.0],[18.0]]`

  On tape pour le lycée B :

  `quartiles([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])`

  On obtient :

  `[[1.0],[9.0],[10.0],[12.0],[19.0]]`

  On voit que dans le lycée B la moitie des élèves ont entre 9 et 12 alors que dans le lycée A la moitie des élèves ont entre 8 et 11. Donc bien que la moyenne du lycée B soit inférieure à la moyenne du lycée A il semble que la classe du lycée B soit meilleure que celle du lycée A. 2/ Si on considère que les deux classes constituent deux échantillons pris au hasard dans une population où la note de l’épreuve est une variable aléatoire X de moyenne µ et d’écart-type σ.
  La reunion des 2 échantillons donne un échantillon de taille n=40.
  de moyenne µ ≃ (9.95+10.15)/2=10.05 et d’écart-type s.
  On tape :
  `stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,
  11,8,7,10, 2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,`
  `9,11,8,9,10])`
  On obtient :
  `s=sqrt(5319/400)` `≃``3.64657373434`.
  La variable aléatoire X40, égale à la moyenne des échantillons de taille 40 a donc pour moyenne :
  µ=10.05 et pour écart-type :
  σ/√40≃ s/√39=0.583919119794.
  Donc σ ≃ 3.69302877574
  Remarque : On sait que la statistique displaystyle n1S12+n2S22/n1+n2−2 est un estimateur sans biais de σ2 si σ est l’écart-type de X (cf 3.8.2). La valeur de cette statistique est obtenue à partir de deux échantillons de taille respective n1 et n2 et d’écart-type respectif s1 et s2 qui sont les valeurs de S1 et de S2 (avec comme notation S2=1/n∑j (Xj−X)2 pour un échantillon de taille n de la variable X).
  On tape (ici n1=n2=20, n1+n2−2=38, s12=4451/400, s22=6179/400) :
  `sqrt(20/38*(6179/400+4451/400))`
  On obtient alors comme approximation de σ : `3.7398986758`
  On pose comme hypothèse H0 : µ1=µ2=µ et pour hypothèse alternative H1 : µ1 ≠ µ2 et on teste ces hypothèses au seuil de 0.05.
  Ā−B suit une loi normale de moyenne 0 et d’écart type σ√1/20+1/20.
  On a :
  σ=s√40/39
  s=√5319/400
  σ√1/20+1/20 ≃ s√40/39/10≃ √5319/100/39≃ 1.16783823959
  Avec `Xcas`, on tape :
  `normal_icdf(0,1.16783823959,0.975)`
  On obtient :
  `2.28892088937`
  `normal_icdf(0,1.16783823959,0.025)`
  On obtient :
  `-2.28892088937`
  On a m1−m2=10.15−9.95=0.2 et comme
  −2.28892088937<0.2< 2.28892088937,
  on accepte l’hypothèse µ1=µ2 au seuil de 5%.
  Autre méthode
  On peut aussi utiliser la loi de Student :
  On considére que µ1=µ2=µ.
  Alors T=(Ā− B)√38/√(20s12+20s22)(1/20+1/20) suit une loi de Student à 38 degrés de liberté.
  On calcule la valeur t de T pour l’échantillon on tape :
  `t:=(10.15-9.95)*sqrt(38)/sqrt(2*3.34```^```2+3.93```^```2)`
  On obtient : `0.200644948434` On tape :
  `student_icdf(38,0.975)`
  On obtient : `2.02439416391`
  Puisque −2.02439416391<0.2<2.02439416391, on accepte l’hypothèse µ1=µ2=µ au seuil de 5%.

- Exercice 2
  Deux entreprises A et B livrent des pièces dans des paquets de 100 pièces. On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses par paquet provenant de A (resp B).
  On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale au nombre moyen de pièces défectueuses par paquet pour des échantillons aléatoires de 49 paquets (resp 64 paquets) provenant de A (resp B).
  I) Sur un échantillon de 49 paquets provenant de A on compte le nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet et on trouve :
  7, 5, 5, 4, 4, 4, 9, 7, 9, 2, 7, 8, 7, 8, 4, 4, 9, 10,
  5, 10, 6, 4, 5, 6, 1, 2, 5, 7, 8, 0, 6, 0, 1, 5, 2, 0,
  5, 2, 3, 3, 4, 1, 3, 10, 1, 0, 10, 2, 7
  1/ Calculer la moyenne m1 et l’écart-type s1 de cet échantillon.
  2/ Donner une estimation de la moyenne µ1 et de l’écart-type σ1 de X1.
  3/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X1
  Réponse :
  1/ On met les données dans la colonne A du tableur ou on donne un nom à la liste du nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet.
  - Dans le tableur on tape les données dans les cellules `A0..A48`, puis en `A49` on tape :
  `mean((A0):(A48))`
  On obtient :
  `237/49` `≃``4.83673469388`.
  en `A50` on tape :
  `stddev((A0):(A48))`
  On obtient :
  `sqrt(21006/2401` `≃``2.9578462847`.
  - Dans une ligne d’entrée, on tape :
  `L:=[7,5,5,4,4,4,9,7,9,2,7,8,7,8,4,4,9,10,
  5,10,6,4,5,6,1,2,5,7,8,0,6,0,1,5,2,0,
  5,2,3,3,4,1,3,10,1,0,10,2,7]`
  puis on tape : `mean(L)`
  On obtient m1 :
  `237/49` `≃``4.83673469388` `≃``4.84`.
  puis on tape : `stddev(A)`
  On obtient s1:
  `sqrt(21006/2401)` `≃``2.9578462847`.
  2/ On a un échantillon de grande taille (n1=49) donc d’après la loi des grands nombres, on estime µ1 par m1= 237/49 ≃ 4.84 et σ1 par :
  s1√n1/n1−1=√21006/2401√49/48≃ 2.98849836021≃ 2.99.
  Donc X1 suit à peu près une loi normale de moyenne m1=4.84 et d’écart-type σ1=2.99.
  3/ La variable aléatoire X1 égale à la moyenne des échantillons de taille 49 suit à peu près une loi normale de moyenne µ1=4.84 et d’écart-type σ1/√49 ≃ s1/√48≃ 0.426928337173≃ 0.427.
  II) Sur un échantillon de 64 paquets provenant de l’entreprise B on trouve une moyenne m2=3.88 et un écart-type s2=1.45:
  1/ Donner une estimation de la moyenne µ2 et de l’écart-type σ2 de X2.
  2/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X2.
  Réponse :
  1/ On a un échantillon de grande taille (n2=64) donc d’après la loi des grands nombres, on estime µ2 par m2=3.88 et σ2 par :
  s2√n2/n2−1=1.45√64/63≃ 1.46146262897≃ 1.46
  On a donc X2 suit une loi de moyenne m2=3.88 et d’écart-type σ1=1.46.
  2/ La variable aléatoire X2 égale à la moyenne des échantillons de taille n2=64 suit à peu près une loi normale de moyenne µ2=3.88 et d’écart-type σ2/√64 ≃ s2/√63≃ 0.182682828621≃ 0.183
  III) On note D la variable aléatoire X1−X2.
  1/ Quelle est la loi de probabilité de D ? Déterminer la moyenne et l’écart-type de D.
  2/ On pose pour hypothèse nulle H0 : µ1=µ2 et pour hypothèse alternative H1 : µ1 ≠ µ2. Calculer sous H0, les nombres h et k tels que :
  Proba(−h<D<h)=0.99 et Proba(−k<D<k)=0.95.
  3/ Peut-on conclure après examen des échantillons donnés en I et II que la différence des moyennes observées est significative au seuil de risque de 1% ? au seuil de risque de 5% ?
  Réponse :
  1/ D suit à peu près une loi normale de moyenne :
  µ1−µ2 ≃ 4.84−3.88=0.96
  et d’écart-type :
  √σ12/49+σ22/64 ≃ √s12/48+s22/63=
  √21006/(2401*48)+1.452/63 ≃ 0.453082418658≃ 0.46
  car la variance de D est la somme des variances de X1 et de X2.
  2/ Sous l’hypothèse H0, D suit à peu près une loi normale de moyenne 0 et d’écart-type σ(D)=0.46.
  h et k sont tels que :
  Proba(−h<D<h)=0.99 et Proba(−k<D<k)=0.95.
  Donc d’après les tables de la loi normale on a :
  h=2.58* σD=2.58*0.46=1.1868≃ 1.19 et
  k=1.96* σD=1.96*0.46=0.9016≃ 0.9.
  Ou bien avec `Xcas` on a :
  `h:=normal_icdf(0,0.46,0.995)=1.18488147963`
  `k:=normal_icdf(0,0.46,0.975)=0.901583432888`
  3/ Puisque la valeur de D pour l’échantillon est égale à 0.96, on conclut qu’au seuil de 5% on rejette l’hypothèse H0 (car 0.96>k) mais par contre, au seuil de 1% on accepte l’hypothèse H0 (car 0.96<h).
  Bien comprendre :
  Au seuil de 5%, on rejette H0 et on se trompe dans moins de 5% des cas, c’est à dire que l’on rejette H0 à tort dans moins de 5% des cas, mais si on ne veut se tromper que dans 1% des cas, on ne peut pas rejeter H0 et donc on l’accepte...
  En fait, on peut dire que l’on rejette H0 au seuil de 4% (i.e. on risque de se tromper en rejettant H0 dans 4% des cas), car :
  `0.96>normal_icdf(0,0.46,0.98)=0.944724498891` ou encore
  `normal_cdf(0,0.46,0.96)=0.981553967548>0.98`
- Exercice 3
  On a administré un somnifère A à 50 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 8h22 avec un écart-type de 0h24.
  On a administré un somnifère B à 100 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 7h15 avec un écart-type de 0h30.
  Ces deux somnifères ont-ils une efficacité signicativement différente ? de combien ?
  Réponse
  Soit X1 la variable aléatoire égale au nombre de minutes de sommeil lorsque l’on a pris le somnifère A et soit X2 la variable aléatoire égale au nombre de minutes de sommeil lorsque l’on a pris le somnifère B.
  On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale à la moyenne du nombre de minutes de sommeil pour des échantillons de taille 50 (resp 100) lorsque l’on a pris le somnifère A (resp le somnifère B).
  Au vu de l’échantillon d’effectif n1=50, X1 a comme moyenne m1 de 8h22 soit de 502 minutes et comme écart-type σ1.
  On a donc :
  m1=8*60+22=502 et,
  σ1 ≃ 24/√49.
  Au vu de l’échantillon d’effectif n2=100, X2 a comme moyenne m2 de 7h15 soit de 435 minutes et comme écart-type σ2.
  On a donc :
  m2=7*60+15=435 et,
  σ2≃ 30/√99.
  On en déduit que X1−X2 suit approximativement une loi normale N(µ , σ) avec comme écart-type :
  σ=√σ12+σ22=√242/49+302/99=4.56574321789≃ 4.566.
  On cherche un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5% et au seuil de 1%. On sait que l’on a :
  Proba(|X1−X2| ≤ µ+1.96σ)=0.95
  Proba(|X1−X2| ≤ µ+2.58σ)=0.99
  X1−X2 a comme valeur m1−m2=67 donc,
  Proba(67−1.96*4.566 ≤ µ ≤ 67+1.96*4.566)=0.95 et,
  Proba(67−2.58*4.566 ≤ µ ≤ 67+2.58*4.566)=0.99
  On a donc :
  - Un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5% est :
  l’intervalle [58;76] (car 58 ≃ 67−1.96*4.566 et 76 ≃ 67+1.96*4.566),
  - Un intervalle de confiance pour µ au seuil de 1% est :
  l’intervalle [55;79] (car 55 ≃ 67−2.58*4.566 et 79 ≃ 67+2.58*4.566).
  Avec `Xcas` on tape :
  `normal_icdf(67,sqrt(24```^```2/49+30```^```2/99),0.975)`
  On obtient :
  `75.9486922697` `≃``76`
  On tape :
  `normal_icdf(67,sqrt(24```^```2/49+30```^```2/99),0.025)`
  On obtient :
  `58.0513077303` `≃``58`
  On tape :
  `normal_icdf(67,sqrt(24```^```2/49+30```^```2/99),0.995)`
  On obtient :
  `78.7605751731` `≃``79`
  On tape :
  `normal_icdf(67,sqrt(24```^```2/49+30```^```2/99),0.005)`
  On obtient :
  `55.239424827` `≃``55`
  Donc :
  - µ est dans l’intervalle [58;76] avec un risque d’erreur de 5% et ,
  - µ est dans l’intervalle [55;79] avec un risque d’erreur de 1%.
  Le somnifère A allonge la durée du sommeil d’environ 67mn=1h07 par rapport au somnifère B, avec une incertidude de (76-58)/2=9mn (resp (79-55)/2=12mn) pour un seuil de 5% (resp 1%).
  Remarque : dans l’exercice précédent on a considéré deux groupes de patients indépendants. On aurait pu faire l’experience sur un même groupe (après un certain temps). On aurait eu affaire alors a des échantillons non indépendants mais appariés (pour un exemple voir l’exercice suivant).
- Exercice 4 : Échantillons appariés
  On a fait faire une double correction de 30 copies par deux examinateurs A et B afin de comparer leur notation. Les copies sont numerotées de 0 à 29.
  On a obtenu pour A :
  `13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,10,`
  `11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10`
  On a obtenu pour B:
  `12,13,12,15,7,5,12,10,8,13,4,17,16,4,9,11,10,`
  `13,13,9,10,7,14,8,7,15,13,10,13,10`
  Réponse
  On tape :
  `A:=[13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,`
  `10,11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10]`
  `mean(A)`
  On obtient :
  `329/30``≃``10.9666666667`
  On tape :
  `stddev(A)`
  On obtient :
  `sqrt(10769/900)` `≃``3.45912641509`
  On tape :
  `B:=[12,17,11,16,7,7,10,10,8,13,1,18,16,4,8,`
  `10,10,14,11,10,8,8,12,6,7,16,13,11,12,9]`
  On tape :
  `mean(B)`
  On obtient :
  `21/2=10.5`
  On tape :
  `stddev(B)`
  On obtient :
  `sqrt(508/45)` `≃``3.35989417823`
  Les deux examinateurs n’ont pas obtenus la même moyenne et la différence des moyennes entre l’examinateur `A` et l’examinateur `B` est m=0.3.
  On tape : `A-B`
  On obtient :
  `[1,-2,1,-1,1,0,1,0,1,0,2,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,
  0,1,0,1,0,0,1]` ou encore on définit le caractère différence `D` avec effectifs :
  `D:=([-2,-1,0,1,2],[1,1,12,15,1])`
  On tape :
  `mean(A-B)`
  ou `mean(D)`
  On obtient :
  `m=7/15=0.466666666667`
  On tape :
  `stddev(A-B)`
  ou `stddev(D)`
  On obtient :
  `s=sqrt(131/225)` `≃``0.763034876151`
  Rappel : Si au sein d’une production répartie selon une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ, on prélève au hasard un échantillon de petite taille n, la variable aléatoire X qui à un échantillon de taille n fait correspondre la moyenne de cet échantillon suit une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ/√n.
  Cette loi n’est pas connue car σ est inconnu. On ne peut pas estimer σ par s√n/n−1 (où s désigne l’écart type de l’échantillon) car n est petit et cela ne fournit pas une bonne estimation de σ.
  La variable `T=√``n−1``(``X``-µ/S``)` (où `S``2``=``1/n``∑``1``n``(X``j``-``X``)``2` et `X``j` la variable aléatoire qui au `j``ième` tirage associe son résultat) suit une loi qui ne dépend pas de σ : cette loi est la loi de Student à `n-1` degrés de liberté.
  On suppose que le caractère différence `D` est distribué selon une loi normale N(µ,σ(D)) (il faudrait le vérifié avec le test du χ2).
  On pose comme hypothèse H0 :µ=0 et comme hypothèse alternative H1: µ ≠ 0.
  On considère la variable `T=√``n−1``(``D``-0/S``)`, `T` a pour valeur :
  t=√n−1*m−0/s
  On tape :
  `t:=sqrt(29)*7/15/sqrt(131/225)` donc t≃=3.29352823645
  Au seuil de 5% et avec 29 degrées de liberté on lit dans la table de Student, la valeur critique h que `t` ne doit pas dépasser.
  On trouve h= 2.05.
  Ou bien on tape avec `Xcas` :
  `h:=student_icdf(29,0.975)`
  On obtient :
  `h=2.04522964213` `≃``2.05`
  Puisque t=3.29352823645>h on conclut qu’au seuil de 5%, les 2 moyennes sont significativement différentes.

  Peut-on dire que `D` suit une loi normale N(0.5,1) ?
  On tape :
  `e1:=30*normal_cdf(0.5,1,-infinity,-0.5)`
  On trouve :
  `4.75965761794`
  On tape :
  `e2:=30*normal_cdf(0.5,1,-0.5,0.5)`
  On trouve :
  `10.2403423821`
  On tape :
  `d2:=((e1-2)```^```2)/e1+((e2-12)```^```2)/e2+((e2-15)```^```2)/e2+
  ((e1-1)```^```2)/e1`
  On trouve :
  `7.084447157`
  On a 4 classes donc 3 degrés de liberté, on tape :
  `chisquare_icdf(3,0.95)=7.81472790325`
  On a `d2<7.81472790325` donc, au seuil de 5% on ne peut pas rejeter l’hypothèse que `D` suit une loi normale N(0.5,1)

## 4.6 Jet d’un dé et test du χ2

### 4.6.1 On jette un dé 90 fois

On a obtenu :
1 a été obtenu 11 fois,
2 a été obtenu 16 fois,
3 a été obtenu 17 fois,
4 a été obtenu 22 fois,
5 a été obtenu 14 fois,
6 a été obtenu 10 fois.
Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
Il y a 6 classes et le degré de liberté est égal à 5 puisque l’effectif de la dernière classe est imposé lorsque l’on a l’effectif des 5 premières. Pour chaque classe l’effectif théorique de l’échantillon est 90*1/6=15 (chaque face ayant une probabilité théorique égale à 1/6 de sortir si le dé est équilibré).
On calcule l’écart quadradique réduit, c’est la valeur de :
χ2=∑j=16 (Xj−90/6)2/90/6 pour l’échantillon considéré.
On obtient ici :
1/15((11−15)2+(16−15)2+(17−15)2+(22−15)2+(14−15)2+(10−15)2)=6.4
Dans une table du χ2 on lit qu’au seuil 0.05 et pour un degré de liberté 5 la valeur limite de χ2 est égale à 11.1.
Avec `Xcas`, on tape :
`chisquare_icdf(5,0.95)`
On obtient :
`11.0704976935` `≃``11.1`.
Or on a 6.4<11,1, donc au seuil 0.05, on ne rejette pas l’hypothèse : "le dé est régulier" car si on dit que le dé n’est pas régulier on se trompe dans plus de 5% des cas.

### 4.6.2 On jette un dé 180 fois

On a obtenu :
1 a été obtenu 22 fois,
2 a été obtenu 32 fois,
3 a été obtenu 34 fois,
4 a été obtenu 44 fois,
5 a été obtenu 28 fois,
6 a été obtenu 20 fois.
Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
Par rapport à l’exercice précédent on a doublé le nombre de lancers et on a aussi doublé les effectifs de chaque classe.
On calcule l’écart quadradique réduit, c’est la valeur de :
χ2=∑j=16 (Xj−180/6)2/180/6 pour l’échantillon considéré.
On obtient ici :
2/15((11−15)2+(16−15)2+(17−15)2+(22−15)2+(14−15)2+(10−15)2)=2*6.4=12.8
Dans une table du χ2 on lit qu’au seuil 0.05 et pour un degré de liberté 5 la valeur limite de χ2 est 11.1.
Avec `Xcas`, on tape :
`chisquare_icdf(5,0.95)`
On obtient :
`11.0704976935`.
Or on a 12.8>11,1, donc on rejette l’hypothèse : "le dé est régulier" au seuil de 5% ce qui veut dire "le dé n’est pas régulier" dans plus de 95% des cas.

### 4.6.3 Intervalle de confiance

Donner un intervalle de confiance du nombre d’apparitions de la face 4, au seuil de 5% lorsqu’on lance le dé 90 fois de suite.
On pose n=90 et p=1/6.
On considère la variable aléatoire X égale au nombre de fois que le 4 est obtenu. X suit une loi binomiale B(90,1/6), de moyenne µ=90*1/6=15 et d’écart-type σ=√npq=√91*1/6*5/6=√12.5=3.53553390593.
En effet, on obtient un 4 avec la probabilité théorique de p=1/6 et on obtient une face différente de 4 avec la probabilité théorique de q=5/6.
On sait, d’apres la loi binomiale, que dans un échantillon d’effectif n, on a une probabilité de Cnkpkqn−k d’avoir k apparitions d’un caractère de probabilité p (ici le caractère est d’obtenir un 4 et, on a p=1/6, q=5/6 et n=90).
On peut approcher la loi binomiale par la loi normale de même moyenne et de même écart-type car n>30 et on a :
µ=np=15 et σ=√npq=√12.5
Prob(|X−µ|/σ<1.96)=0.95 donc
Prob(µ−1.96σ<X<µ+1.96σ)=0.95 donc
Prob(8.07035354438<X<21.9296464556)=0.95
Avec `Xcas` on tape :
`normal_icdf(15,sqrt(12.5),0.975)`
On obtient : `21.9295191217`
`normal_icdf(15,sqrt(12.5),0.025)`
On obtient : `8.07048087825`
Donc si n=90, l’effectif des différentes classes (en particulier l’effectif de la classe 4) devraient être dans l’intervalle [8;22], au seuil de 0.05 c’est à dire avec un risque d’erreur de 5%.
Remarque
De même si n=180 µ=30 et σ=√180*5/36=5 donc :
Prob(20.2=30−1.96*5<k<30+1.96*5=39.8)=0.95
Avec `Xcas` on tape :
`normal_icdf(30,5,0.975)`
On obtient : `39.7998199227`
`normal_icdf(30,5,0.025)`
On obtient : `20.2001800773`
Donc si n=180, les effectifs des différentes classes sont dans l’intervalle [20;40], au seuil de 0.05 c’est à dire avec un risque d’erreur de 5%.

## 4.7 Simulation de la loi uniforme sur [0;1]

Si X suit une loi uniforme sur [0;1], X a pour espérance 1/2 et pour écart-type √1/12 ≃ 0.288675134595.
En effet :
E(X)=∫01xdx=1/2 et
E(X2)=∫01x2dx=1/3 et donc
σ(X)=√1/3−(1/2)2=√1/12
Dans `Xcas` la fonction `rand()` renvoie, de façon équirṕartie, un nombre aléatoire entre 0 et 232 et `rand(0,1)` ou `rand(0..1)()` renvoie, de façon équirṕartie, un nombre aléatoire entre 0 et 1 : on remarquera que r:=`rand(0..1)` définit une fonction `r` et que `r()` renvoie alors de façon équirṕartie, un nombre aléatoire entre 0 et 1.
Exercice :
Simuler dans la colonne `A` du tableur, le tirage de 100 nombres aléatoires.
Calculer la moyenne dans `A100` et l’écart type dans `A101` de la série obtenue.
Refaire la même chose dans les colonnes `B, C, D, E`.
Refaire la même chose avec les 100 lignes ainsi crées.
Comparer avec les valeurs théoriques.
Réponse :
De 0 à 99 et sur 5 colonnes les cellules sont remplies aléatoirement : les cellules `A0:E99` contiennent `rand(0,1)`.
La ligne 100 (`A100:E100`) contient les moyennes des lignes de 0 à 99 pour chacune des colonnes `A..E`.
La ligne 101 (`A101:E101`) contient les écarts-types des lignes de 0 à 99 pour chacune des colonnes `A..E`.
La colonne `F` (`F0:F99`) va servir à faire la moyenne des colonnes de `A` à `E` pour chacune des lignes de 0 à 99.
La colonne `G` (`G0:G99`) va servir à mettre les écarts-types des colonnes de `A` à `E` pour chacune des lignes de 0 à 99.
On remplit ensuite `F100, F101, G100, G101` :
`F100=[mean(A100:E100),mean(F0:F99),mean(A0:E99)]`, `F100` est la moyenne de la ligne 100 (moyenne des moyennes de 5 échantillons d’effectif 100), suivi de la moyenne de la colonne F (moyenne des moyennes de 100 échantillons d’effectif 5), suivi de la moyenne totale (moyenne d’un échantillon d’effectif 500). Évidemment ces 3 moyennes sont les mêmes !
`F101=[mean(A101:E101),stddev(F0:F99)]`
`F101`est la moyenne de la ligne 101 (moyenne des écarts-types de 5 échantillons d’effectif 100) suivi de l’écart-type de la colonne `F` (écart-type des moyennes de 100 échantillons d’effectif 5).
`G100=[stddev(A100:E100),mean(G0:G99)]`
`G100` l’écart-type de la ligne 100 (écart-type des moyennes de 5 échantillons d’effectif 100) suivi de la moyenne de la colonne `G` (moyenne des l’écarts-types de 100 échantillons d’effectif 5).
`G101=[stddev(A101:E101),stddev(G0:G99),stddev(A0:E99)]`
`G101` est l’écart-type de la ligne 101 (l’écart-type des l’écarts-types de 5 échantillons d’effectif 100), suivi de l’écart-type de la colonne G (l’écart-type des l’écarts-types de 100 échantillons d’effectif 5), suivi de l’écart-type total (l’écart-type d’un échantillon d’effectif 500).

Pour `n=500`, on trouve par exemple :
`m=mean(A0:E99)=0.484342422505` et
`s=stddev(A0:E99)=0.285946471987`
Ici, on est parti d’une loi connue : la loi uniforme sur [0;1] de moyenne µ=0.5 et d’écart-type σ=√1/12 ≃ 0.288675134595.
Dans la pratique on ne connait ni µ ni σ.
D’après la théorie, si on considère tous les échantillons de taille n, la variable aléatoire :
X=(X1+...+Xn)/n suit approximativement une loi normale N(µ,σ/√n) lorsque n est grand et la variable aléatoire :
S2=(X1−X)2+...+(Xn−X)2/n a pour moyenne n−1/nσ2
Pour la loi uniforme on a :
la moyenne de la série des moyennes des échantillons de taille n est égale à 0.5 ,
l’écart-type de la série des moyennes des échantillons de taille n est √1/12 n,
la moyenne de la série des écarts-types des échantillons de taille n est √n−1/12 n,
l’écart-type σ(S2) de la série des écarts-types des échantillons de taille n est plus petit que K/√n où K est une constante qui ne dépend que de la loi.
Au vu d’un échantillon d’effectif 500 (`n=500`), de moyenne m, et d’écart-type s, on convient de dire que la moyenne empirique :
`m=mean((A0):(E99))=0.484342422505` (m est la valeur observée de X) est l’approximation de la moyenne µ et que l’écart-type empirique :
`s=stddev(A0:E99)=0.285946471987` (s2 est la valeur observée de S2) est l’approximation de la moyenne de la série des écarts-types des échantillons de taille n=500 et on a :
√E(S2)=√499/500 ≃ s.
Lorsque l’on ne connait pas σ on en calcule une valeur approchée à partir de l’écart type d’un échantillon de grande taille ici 500 :
on a : s`=0.285946471987`
On calcule la valeur théorique estimée :
σ−est=s*√n/(n−1)
On tape et on obtient :
`=0.285946471987*sqrt500/499=0.286232848095`
au lieu de σ=0.288386314978
De plus la théorie nous dit que la distribution des moyennes des échantillons d’effectif 500 suit sensiblement une loi normale de moyenne µ et d’écart-type :
σ/√500≃s/√499 `=0.0128007221147`.
Ceci nous permet de dire qu’au seuil de 5%, on a :
|m−µ|<1.96*0.0127879149858=0.0250894153448 soit :
0.45925300716=m−s/√499<µ<m+s/√499=0.50943183785.
D’où un intervalle de confiance au seuil de 5% pour `µ` de :
[0.4592;0.5095].
Voici les résultats des lignes 100 et 101 :
- ligne 100 est la valeur de la moyenne de 5 échantillons d’effectif 100, on trouve :
`0.466489640726, 0.487896819143, 0.499799806252,`
`0.453281438346, 0.514244408058`.
Ces 5 moyennes ont pour moyenne la moyenne totale:
`mean(A100:E100) =m =0.484342422505`
et ces 5 moyennes ont pour écart-type :
`stddev(A100:E100)=0.022041777341` `≃ σ/√``100`
- ligne 101 est la valeur de l’écart-type de 5 échantillons d’effectif 100, on trouve :
`0.264640095911, 0.302416108249, 0.299622396086,`
`0.276154743049, 0.280843050885`
ces 5 écarts-types ont pour moyenne :
`mean(A101:E101) =0.284735278836`
valeur approchée de `√``99/100``≃``0.287228132327`
et pour écart-type :
`stddev(A101:E101)=0.0143305924398`.
Dans la colonne `F` on fait la moyenne des lignes ce qui correspond à 100 échantillons de 5 tirages (n=5).
Ces 100 moyennes ont pour moyenne la moyenne totale :
`mean(F0:F99)=0.484342422505`
et es 100 moyennes ont pour écart-type :
`stddev(F0:F99)=0.112665383246`
valeur approchée de `σ/√``5``≃``0.129099444874`.
Dans la colonne `G` on fait l’écart-type des lignes ce qui correspond à 100 échantillons de 5 tirages (n=5).
Ces 100 écarts-types ont pour moyenne :
`mean(G0:G99)=0.252572046948`
valeur approchée de `√``4/ 5``≃``0.258198889747`
et pour écart-type :
`stddev(G0:G99)=0.0726584981978`
Observations :
- Comment évoluent les moyennes :
les valeurs de la ligne 100 des moyennes de chaque colonne A..F c’est à dire la moyenne de 100 observations est assez proche de la valeur attendue 0.5, alors que la colonne F moyenne des lignes c’est à dire de 5 observations est loin de la valeur attendue 0.5. On voit bien que l’écart-type des moyennes d’un échantillon de taille n dépend de n et que plus n est grand plus cet écart-type diminue. Les écarts-types de ces 2 séries ne sont donc pas les mêmes : d’après la théorie, l’écart-type des moyennes d’un échantillon de taille n est :
σ/√n si σ est l’écart-type de la population toute entière qui est pour la loi uniforme de : √1/12=0.288675134595.
De façon expérimentale on a :
- écart type des 5 moyennes correspondant à 5 échantillons de taille 100 :
`0.022041777341`
On calcule la valeur théorique :
`sqrt(1/12)/10=0.0288675134595`
- écart type des 100 moyennes correspondant à 100 échantillons de taille 5 :
`0.112665383246`
On calcule la valeur théorique :
`sqrt(1/12)/sqrt(5)=0.129099444874`
- Comment évoluent les écarts-types :
d’après la théorie, la moyenne des écarts-types d’un échantillon de taille n est :
√n−1/n si σ est l’écart-type de la population toute entière qui est pour la loi uniforme de : √1/12=0.288675134595.
De façon expérimentale on a :
- moyenne des 5 écarts-types correspondant à 5 échantillons de taille 100 :
`0.284735278836`
On calcule la valeur théorique :
`sqrt(1/12)*sqrt(99/100)=0.298337151271`
- moyenne des 100 écarts-types correspondant à 100 échantillons de taille 5 :
`0.252572046948`
On calcule la valeur théorique :
`sqrt(1/12)*sqrt(4/5)=0.258198889747`
Lorsque l’on ne connait pas σ on en calcule une valeur approchée à partir de l’écart type d’un échantillon de grande taille ici 500 :
on a : s`=0.285946471987`
La valeur théorique estimée σ est de σ :
σ est=s*√n/(n−1)
On tape :
`0.285946471987*sqrt(500/499)`
On obtient :
`0.286232848095` (au lieu de σ`=0.288386314978`
Quant aux écarts-types des écarts-types des échantillons de taille n, on voit qu’il sont d’autant plus petit que n est grand : c’est pourquoi on peut approcher l’écart type par l’écart-type d’un seul échantillon de grande taille.