Les coefficients de Fourier : fourier_an et fourier_bn ou fourier_cn

### 6.26.1 Les coefficients de Fourier : fourier_an et fourier_bn ou fourier_cn

Si la fonction f est continue par morceaux sur ℝ, et est périodique de période T, alors aux points de continuité de f on a :

f(x)=a0+ |
+∞
∑
n=1
| an cos( |
2π nx
T
| )+bn sin( |
2π nx
T
| )

ou

f(x)= |
+∞
∑
n=−∞
| cn e |
2iπ nx
T

où les coefficients an, bn, n∈ N, (ou cn, n ∈ Z) sont les coefficients de Fourier de f et se calculent avec les fonctions :
fourier_an et fourier_bn ou fourier_cn.

#### fourier_an

fourier_an a quatre ou cinq paramètres : une expression Xpr dependant d’une variable, le nom de la variable (par exemple x), la période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_an(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier an d’une fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique de période T.
Si f est continue par morceaux fourier_an(Xpr,x,T,n,a) renvoie an=2/T∫aa+Tf(x)cos(2π nx /T)dx
Si l’on veut que les calculs soient simplifiés il faut dire que n est un entier en tapant assume(n,integer).
Exemples

- Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
  On tape, pour avoir son coefficient a0 :
  fourier_an(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,0,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient a1 :
  fourier_an(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient an (n≠ 0 et n≠ 1) :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi)
  On obtient :
  0
- Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par f(x)=x2.
  On tape, pour avoir son coefficient a0 :
  fourier_an(x`^`2,x,2,0,-1)
  On obtient :
  1/3
  On tape, pour avoir son coefficient an (n≠ 0) :
  assume(n,integer)
  fourier_an(x`^`2,x,2,n,-1)
  On obtient :
  4*(-1)`^`n/(pi`^`2*n`^`2)

#### fourier_bn

fourier_bn a quatre ou cinq paramètres : une expression Xpr dependant d’une variable, le nom de la variable (par exemple x), la période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_bn(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier bn d’une fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique de période T.
Si f est continue par morceaux fourier_bn(Xpr,x,T,n,a) renvoie :
bn=2/T∫aa+Tf(x)sin(2π nx/T)dx
Si l’on veut que les calculs soient simplifiés il faut dire que n est un entier en tapant assume(n,integer).
Exemples

- Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
  On tape, pour avoir son coefficient b1 :
  fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient bn (n≠ 1) :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi)
  On obtient :
  0
- Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par f(x)=x2.
  On tape, pour avoir son coefficient bn (n≠ 0) :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(x`^`2,x,2,n,-1)
  On obtient :
  0
- Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par f(x)=x3.
  On tape, pour avoir son coefficient b1 :
  fourier_bn(x`^`3,x,2,1,-1)
  On obtient :
  (2*pi`^`2-12)/pi`^`3
  On tape, pour avoir son coefficient bn :
  assume(n,integer)
  fourier_bn(x`^`3,x,2,n,-1)
  On obtient :
  (-2*n`^`2*pi`^`2*(-1)`^`n+12*(-1)`^`n)/(n`^`3*pi`^`3)

#### fourier_cn

fourier_cn a quatre ou cinq paramètres : une expression Xpr, le nom de la variable (par exemple x), la période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_cn(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier cn d’une fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique de période T.
Si f(x)=Xpr est continue par morceaux sur ℝ, fourier_cn(Xpr,x,T,n,a) renvoie cn=1/T∫aa+Tf(x)e−2iπ nx/Tdx
Exemples

- Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
  On tape, pour avoir son coefficient c0 :
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,0,-pi)
  On obtient :
  1
  On tape, pour avoir son coefficient c1 :
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi)
  On obtient :
  (1-i)/2
  On tape, pour avoir son coefficient c−1 :
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,-1,-pi)
  On obtient :
  (1+i)/2
  On tape, pour avoir son coefficient cn (n≠ 0 et n≠ ± 1) :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi)
  On obtient :
  0
- Déterminer les coefficients cn de Fourier de la fonction f périodique de période 2 et définie sur [−1;1[ par f(x)=x2.
  On tape, pour avoir c0 :
  fourier_cn(x`^`2,x,2,0,-1)
  On obtient:
  1/3
  On tape, pour avoir cn :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x`^`2,x,2,n,-1)
  On obtient:
  2*(-1)`^`n/(pi`^`2*n`^`2)
- Déterminer les coefficients cn de Fourier de la fonction f périodique de période 2 et définie sur [0;2[ par f(x)=x2.
  On tape, pour avoir c0 :
  fourier_cn(x`^`2,x,2,0)
  On obtient:
  4/3
  On tape, pour avoir cn :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x`^`2,x,2,n)
  On obtient:
  ((2*i)*pi*n+2)/(pi`^`2*n`^`2)
- Déterminer les coefficients cn de Fourier de la fonction f périodique de période 2π, et définie sur [0;2π[ par f(x)=x2.
  On tape :
  assume(n,integer)
  fourier_cn(x`^`2,x,2*pi,n)
  On obtient :
  ((2*i)*pi*n+2)/n`^`2
  Si on ne met pas assume(n,integer) on obtient une expression non simplifiée :
  ((2*i)*pi`^`2*n`^`2*exp((-i)*n*2*pi)+2*pi*n*exp((-i)*n*2*pi)+
  (-i)*exp((-i)*n*2*pi)+i)/(pi*n`^`3)
  que l’on peut simplifier en remplacant exp((-i)*n*2*pi) par 1 :
  subst(ans(),exp((-i)*n*2*pi)=1)
  On obtient :
  ((2*i)*pi`^`2*n`^`2+2*pi*n+-i+i)/pi/n`^`3
  expression que l’on peut simplifier avec normal et on trouve finalement :
  ((2*i)*pi*n+2)/n`^`2
  Il est donc préférable d’écrire assume(n,integer).
  Donc si n ≠ 0 on a :

  cn= |
  2*i*n*π+2
  n2

  Puis on tape :
  fourier_cn(x`^`2,x,2*pi,0)
  On obtient :
  4*pi`^`2/3
  Donc si n= 0 on a :

  c0= |
  4.π2
  3

Remarque :
Lorsque l’on ne veut plus considérer n comme un entier on doit taper :
purge(n).
Pour connaître les hypothéses faites sur une variable, par exemple n, on tape :
about(n)