Polynôme de Tchebychev de 2-ième espèce : tchebyshev2

### 6.30.5 Polynôme de Tchebychev de 2-ième espèce : tchebyshev2

tchebyshev2 a comme argument un entier n et eventuellement le nom de la variable (x par défaut).
tchebyshev2 renvoie le polynôme de Tchebychev de seconde espèce, de degré n, noté U(n,x).
On a :

U(n,x)= |
sin((n+1).arccos(x))
sin(arccos(x))

ou encore

sin((n+1)x)=sin(x)*U(n,cos(x))

U(n,x) vérifie les relations :
U(0,x)=1
U(1,x)=2x
U(n,x)=2xU(n−1,x)−U(n−2,x)
Les polynômes U(n,x) sont orthogonaux pour le produit scalaire :
<f,g>=∫−1+1f(x)g(x)√1−x2dx
On tape :

tchebyshev2(3)

On obtient :

8*x`^`3+-4*x

On tape :

tchebyshev2(3,y)

On obtient :

8*y`^`3+-4*y

en effet :
sin(4.x)=sin(x)*(8*cos(x)3−4.cos(x))=sin(x)*U(3,cos(x)).