Le Laplacien : laplacian

### 6.61.2 Le Laplacien : laplacian

laplacian a un ou deux paramètres.

- le paramètre est un entier ou un entier flottant n.
  laplacian(n) renvoie la matrice de taille n du laplacien discret en dimension 1.
  Cette matrice est tridiagonale et a 2 sur la diagonale principale, -1 sur la diagonale supérieure et -1 sur la diagonale inférieure.
  En effet :
  Soit F est définie en x1,x2,x3,x4,x5,x6 (où xk+1−xk=h) par F(xk)=yk) et on suppose que F(x0)=F(x1−h)=0=y0 et que F(x7)=F(x6+h)=0=y7 (ici n=6).
  Les valeurs approchées de la dérivée première en x0,x1..x6 sont :
  (y1−y0)/h=y1/h,(y2−y1)/h,(y3−y2)/h,...,(y6−y5)/h, (y7−y6)/h.
  Les valeurs approchées de la dérivée seconde en x1..x6 sont :
  ((y2−y1)/h−y1/h)/h=((y2−2y1)/h2
  ((y3−y2)/h−(y2−y1)/h)/h=(y3−2y2+y1)/h2
  ((y6−y5)/h−(y5−y4)/h)/h=(y6−2y5+y4)/h2
  ((y7−y6)/h−(y6−y5)/h)/h=(−2y6+y5)/h2 car y7=0.
  Donc les valeurs approchées de −∂2 F/∂ x2(xk) sont pour h=1 :
  2*y1−y2, −yk−1+2*yk−yk+1 pour k=2..6−1, −y5+2*y6.
  On peut aussi plus simplement utiliser la formule de Taylor à l’odre 2 :
  f(a+h)−f(a)−hf′(a)≃ h2f″(a)/2 et
  f(a−h)−f(a)+hf′(a)≃ h2f″(a)/2
  donc en ajoutant :
  f″(a)≃ (f(a+h)+f(a−h)−2f(a))/h2
  On retrouve :
  f″(x1)≃ (f(x2)+f(x0)−2f(x1))/h2=(f(x2)−2f(x1))/h2
  f″(xk)≃ (f(xk+1)+f(xk−1)−2f(xk))/h2, (k=2..n−1)
  f″(xn)≃ (f(xn+1)+f(xn−1)−2f(xn))/h2=(f(xn−1)−2f(xn))/h2
  On tape :
  laplacian(3)
  On obtient :
  [[2,-1,0],[-1,2,-1],[0,-1,2]]
  On tape :
  laplacian(3.)
  On obtient :
  [[2.0,-1.0,0.0],[-1.0,2.0,-1.0],[0.0,-1.0,2.0]]
  On tape :
  laplacian(6)
  On obtient :
  [[2,-1,0,0,0,0],[-1,2,-1,0,0,0],[0,-1,2,-1,0,0],
  [0,0,-1,2,-1,0],[0,0,0,-1,2,-1],[0,0,0,0,-1,2]]
- les 2 paramètres sont :
  une expression F dependant de n variables rèelles et un vecteur de dimension n indiquant le nom de ces variables.
  laplacian renvoie le laplacien de F :
  (∇2(F)(x,y,z)=∂2 F/∂ x2(x,y,z)+∂2 F/∂ y2(x,y,z)+∂2 F/∂ z2(x,y,z) si n=3).
  On tape :
  laplacian(2*x`^`4*y`^`3-x`^`2*y*z`^`3,[x,y,z])
  On obtient :
  -2*y*z`^`3-6*x`^`2*y*z+24*x`^`2*y`^`3+12*x`^`4*y

Exemples
Déterminer le laplacien de F(x,y,z)=2x2y−xz3.
On tape :

laplacian(2*x`^`2*y-x*z`^`3,[x,y,z])

On obtient :

4*y+-6*x*z

On tape :

laplacian(4)

On obtient :

[[2,-1,0,0],[-1,2,-1,0],[0,-1,2,-1],[0,0,-1,2]]