Polynôme de Tchebychev de 1-ière espèce : tchebyshev1

### 6.30.4 Polynôme de Tchebychev de 1-ière espèce : tchebyshev1

tchebyshev1 a comme argument un entier n et eventuellement le nom de la variable (x par défaut).
tchebyshev1 renvoie le polynôme de Tchebychev de première espèce, de degré n, noté T(n,x).
On a :

T(n,x)= cos(n.arccos(x))

T(n,x) vérifie les relations :
T(0,x)=1
T(1,x)=x
T(n,x)=2xT(n−1,x)−T(n−2,x)
Les polynômes T(n,x) sont orthogonaux pour le produit scalaire :
<f,g>=∫−1+1f(x)g(x)/√1−x2dx
On tape :

tchebyshev1(4)

On obtient :

8*x`^`4+-8*x`^`2+1

On tape :

tchebyshev1(4,y)

On obtient :

8*y`^`4+-8*y`^`2+1

et on a bien :
cos( 4.x)=Re((cos(x)+i.sin(x))4)
cos( 4.x)=cos(x)4−6.cos(x)2.(1−cos(x)2)+((1−cos(x)2)2.
cos(4.x)=T(4,cos(x)).