Limite et intégrale

### 6.23.2 Limite et intégrale

On ne donne ici que deux exemple :

- Déterminer la limite quand a tend vers l’infini de :

  ∫ |
  a
  2
  1
  x2
  | dx

  On tape :
  limit(integrate(1/(x`^`2),x,2,a),a,+(infinity))
  On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)) :
  1/2
  En effet ∫2a 1/x2 dx=1/2−1/a
  Donc ∫2a 1/x2 dx tend vers 1/2 quand a tend vers l’infini.
- Déterminer la limite quand a tend vers l’infini de :

  ∫ |
  a
  2
  | ( |
  x
  x2−1
  | +ln( |
  x+1
  x−1
  | )) dx

  On tape :
  limit(integrate(x/(x`^`2-1)+log((x+1)/(x-1)),x,2,a),
  a,+(infinity))
  On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)):
  +(infinity)
  En effet :
  ∫2a x/x2−1 dx=1/2(ln(a2−1)−ln(3)) et
  ∫2a ln(x+1/x−1) dx=ln(a+1)+ln(a−1)+a*ln(a+1/a−1)−3ln(3) Donc quand a tend vers +∞ l’intégrale tend vers +∞.
- Déterminer la limite quand a tend vers 0 de :

  ∫ |
  3a
  a
  | cos(x)/x dx

  limit(int(cos(x)/x,x,a,3a),a,0)
  On obtient (vérifier que a est formelle sinon faire purge(a)):
  ln(3)
  Pour trouver cette limite on encadre cos(x)/x car on ne connait pas la primitive de cos(x)/x.
  On sait que :
  1−2sin2x/2=cos(x)≤ 1 et
  sin2x/2≤ x2/4 donc,
  1−x2/2=cos(x)≤ 1 et
  1/x−x/2≤ cos(x)/x≤ 1/x
  Donc :
  ∫a3a(1/x−x/2) dx ≤ ∫a3acos(x)/x dx≤ ∫a3a1/x dx.
  ln(3)−9a2/4+a2/4 ≤ ∫a3acos(x)/x dx≤ ln(3).
  Donc ∫a3acos(x)/x dx tend vers ln(3) quand a tend vers 0.