Calcul avec les racines exactes d’un polynôme : rootof

### 6.28.23 Calcul avec les racines exactes d’un polynôme : rootof

Soient P et Q deux polynômes donnés par la liste de leurs coefficients alors, rootof(P,Q) désigne la valeur P(α) où α est la "plus grande" racine de Q (on compare d’abord les parties réelles et en cas dégalité on compare les parties imaginaires).
On peut alors faire des calculs avec cette valeur.
On tape :

normal(rootof([1,0],[1,2,-3]))

On obtient :

1

en effet x2+2x−3=(x−1)(x+3) a comme plus grande racine 1.
Autre exemple
Soit α la plus grande racine en norme de Q(x)=x4+10x2+1.

- Calculer 1/α
  On tape :
  normal(1/rootof([1,0],[1,0,10,0,1]))
  car P(x)=x est représenté par [1,0].
  On obtient :
  rootof([[-1,0,-10,0],[1,0,10,0,1]])
  ce qui veut dire que :
  1/α=−(α)3−10.α
- Calculer (α)2.
  On tape :
  normal(rootof([1,0],[1,0,10,0,1])`^`2)
  On a α=rootof([1,0],[1,0,10,0,1]) car P(x)=x est représenté par [1,0], et pour avoir α2, on élève α au carré.
  On obtient :
  -5-2*sqrt(6)
  ou pour avoir α2 directement, on tape :
  normal(rootof([1,0,0],[1,0,10,0,1])`^`2)
  car P(x)=x2 est représenté par [1,0,0].
  On obtient :
  -5-2*sqrt(6)

Ce résultat peut se vérifier puisque l’on a une équation bicarrée de discriminant réduit 25−1=24=4*6. On tape :

csolve(x`^`4+10x`^`2+1)

On obtient :

[(i)*sqrt(-2*sqrt(6)+5),(-i)*sqrt(-2*sqrt(6)+5),
(i)*sqrt(2*sqrt(6)+5),(-i)*sqrt(2*sqrt(6)+5)]

Donc α=i*√2*√6+5
On tape :

((i)*sqrt(2*sqrt(6)+5))`^`2

On obtient :

-5-2*sqrt(6)